Por que o 6 é um número perfeito, mas o 7 definitivamente não é

Nem todos podem ser, mas o 6 é um número perfeito.

Sabemos disso há 2,3 mil anos, muito tempo antes de tomarmos conhecimento da grande maioria dos outros 50 membros deste clube exclusivo.

Mas por que ele é perfeito?

Porque 6 = 1 + 2 + 3

Os números perfeitos são iguais à soma de seus divisores: 6 pode ser dividido por 1, 2 e 3 e, quando você soma esses números, o resultado é 6.

A história dos números perfeitos faz parte de um dos ramos mais antigos e fascinantes da matemática: a teoria dos números.

O primeiro a se referir a eles foi ninguém menos que o matemático grego Euclides, em sua influente obra Os Elementos, publicada em 300 a.C.

Ele havia descoberto quatro números perfeitos e, em seu livro, revelou uma maneira eficaz de encontrar outros. Eficaz, mas difícil e demorada.

Se você está curioso para saber qual era a fórmula, prossiga a leitura. Do contrário, pule o trecho que está entre as linhas verdes.

Isto é, passo a passo, o que ele disse:

"Se qualquer série de números for colocada continuamente em dupla proporção..."

Ou seja, por exemplo, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64...

"... (começando) de uma unidade, até que a soma de todos seja um número primo..."

Então vamos somar até chegar a um número primo (divisível apenas por 1 e ele mesmo):

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

"... e se (o total) da soma for multiplicada pelo último (número da sequência), então o produto (resultado) será (um número) perfeito."

Portanto, a soma deve ser multiplicada pelo último número da sequência: 31 x16 = 496 ... e o resultado deve ser um número perfeito.

Será que é?

496 pode ser dividido por 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 e 248. E, se somarmos todos, o resultado é 496. Trata-se, efetivamente, de um número perfeito.

Euclides não apenas nos presenteou com quatro desses números seletos ? 6, 28, 496 e 8128 ? como também inspirou as gerações seguintes de matemáticos a continuar a busca.

Uma longa busca. Levaria mais de 1750 anos até outro número perfeito ser identificado.

Antes disso, outro matemático grego, o neopitagórico Nicômaco de Gerasa deu a eles um caráter mais místico.

Divinos

Em sua Introdução à Aritmética, Nicômaco fez uma classificação dos números que incluía os perfeitos, e colocava os outros em seu devido lugar.

Os perfeitos já haviam sido definidos por Euclides, mas se a soma dos divisores dava um número maior, eles eram abundantes; se dava um número menor, deficientes.

Mas ele não se limitou a dar nomes a eles: os números talvez tenham sido criados iguais, mas para Nicômaco alguns eram mais iguais do que outros.

Quando há demasiado, disse ele, "se produz excesso, superfluidade, exageros e abusos; no caso de muito pouco, se produz desejos, inadimplência, privações e insuficiências".

O contraste com estar em igualdade era abissal.

"Se produz virtude, medidas justas, decoro, beleza e coisas do gênero, das quais a mais exemplar é aquele tipo de número que se chama perfeito."

Sua classificação deixou uma marca. Os números perfeitos se tornaram, pelo menos por um tempo, divinos.

Milhares de cálculos depois...

Em 1456, alguém registrou outro número perfeito em um manuscrito medieval: 33550336.

E em 1588, o matemático italiano Pietro Antonio Cataldi encontrou dois outros: 8589869056 e 137438691328.

Você pode imaginar quanto trabalho eles devem ter tido para conseguir isso sem um computador!

É impressionante... e o oitavo número perfeito que seria descoberto dois séculos depois, ainda mais.

Ele foi identificado por ninguém menos que o grande Leonhard Euler em 1772, tinha 19 dígitos e, de acordo com o matemático inglês do século 19 Peter Barlow, era "provavelmente o maior que seria descoberto".

Ele estava enganado.

Duas décadas após sua morte, foi encontrado o nono número perfeito, graças aos avanços da tecnologia e da teoria dos números. Os intervalos de tempo entre uma descoberta e outra foram encurtados ao ponto que neste milênio, foram identificados quase um por ano.

Hoje conhecemos um total de 51 números perfeitos. O mais recente tem 49.724.095 dígitos.

O evasivo ímpar

Se você visse todos, notaria que, sem exceção, são pares.

Isso deu origem a um dos mistérios mais antigos da matemática: a conjectura sobre os números perfeitos ímpares.

Uma conjectura é uma regra que nunca foi comprovada, neste caso seria algo como "todos os números perfeitos são pares".

Isso é algo que não poderemos afirmar até que seja respondida a grande pergunta que os matemáticos fazem desde René Descartes no século 17 até o norueguês Øystein Ore no século 20: existem números perfeitos ímpares?

Várias mentes brilhantes avançaram em busca da resposta.

Porém, a única coisa que sabemos até agora é que, se existirem, devem ser maiores que 10³??, uma vez que a conjectura foi verificada computacionalmente até esse valor sem encontrar nenhum.

Mas afinal de contas...

Para que servem?

Dados a dimensão e a quantidade de mentes brilhantes no mundo matemático que dedicaram tempo e massa cinzenta aos números perfeitos, talvez seja natural se perguntar qual é sua importância.

E nada mais gratificante do que encontrar uma resposta magnífica, como a que David E. Joyce, professor de Matemática e Computação da Clark University, nos EUA, deu no portal Quora.

"Os critérios tradicionais de importância na teoria dos números são estéticos e históricos. O que as pessoas consideram importante é o que interessa a elas. Isso difere de pessoa para pessoa", afirma.

Em outras palavras, são importantes porque são interessantes... quer razão melhor? E se você leu até aqui, provavelmente concorda.

Além disso, uma das coisas mais fascinantes em relação à matemática é que ela frequentemente nos revela maravilhas que só com o tempo passamos a entender.